‘’7’’ SAYISININ GİZEMLİ VE İLGİNÇ ÖZELLİKLERİ

 
Tarık Taşpınar

Bu konuya başlamadan önce matematikçilere şöyle bir soru yöneltmek istiyorum:

Sınıfta bir öğrenci kalkıp size şöyle dese;

‘’Tahtada, sizin belirlediğiniz iki basamaklı bir sayıyla başlayıp yine sizin belirlediğiniz bir başka iki basamaklı sayıyla biten ve hem 7 ye, hem 11’ e ve hem de 13’ e kalansız bölünebilen 30 (otuz) basamaklı bir sayıyı tek seferde ve bu sayıların katlarıyla ilgili hiçbir hesaplama yapmadan yazabilirim …’’

Bu öğrencinin iddiası size inandırıcı gelir miydi?

 

 7 NİN İLGİNÇ KATLARI

--4 BASAMAKLI SAYILARDA 7 NİN İLGİNÇ KATLARI

Bir rakam, arada iki sıfır (00)veya -07- den başlayıp 7’nin iki basamaklı katları olacak şekilde başta ve sonda tekrar yazılarak oluşturulan 4 basamaklı sayılar 7 ye kalansız bölünür.

 

Örnekler:

 

1001              1071

2002              3283

3003              5635

4004              8568

5005              9429

6006              6146

7007              2492           

8008              4914

9009              7847

Yukarıda verilen sayılar birden çok kez sonsuza kadar yazılabilir ve bunlar karışık halde yani farklı sayılar bir araya getirilerek de sonsuz sayıda yazılabilir ve bu sayılar da 7 ye kalansız bölünebilir.

900990099009…

500520024004300361465635 …

 

7’nin dışındaki diğer sayılarda, yukarıda verilen örneklerdeki gibi, önce bir sayı yazıldıktan sonra o sayının iki basamaklı katı yazılıp sonra tekrar o sayı yazılırsa bahsi geçen sayının katı olan 4 basamaklı bir sayıya ulaşmış oluruz. Örneğin, yukarıdaki 8568 örneğinde olduğu gibi. Bu sayı aynı zamanda 8 in de katıdır ve her iki yanında da 8 sayısı vardır. Ortadaki 56 sayısı 8 in de katıdır. Mesela, 6126 sayısında da iki adet 6’nın arasında 6’nın katı olan 12 sayısı vardır ve bu sayı da 6’nın katıdır. 7 sayısını farklı ve özel kılan nokta, 7’nin iki basamaklı katı olan sayının iki yanında hangi ‘’aynı sayı’’ olursa olsun yine 7’nin katını vermesidir. Bu özelliklere sahip diğer sayılar ise 11 ve 13 tür.6226, 6396 örneklerinde olduğu gibi iki aynı rakamın arasına 11 in katlarını yazarsak 11 in katını,13 ün katlarını yazarsak da 13 ün katı olan sayıyı elde etmiş oluruz.

 

Ayrıca 1001,2002.3003,4004,5005,6006,7007,8008 ve 9009 sayıları 7’nin katı olduğu gibi 11 ve 13 sayılarınında katıdır.

 

DÖRT BASAMAKLI HERHANGİ BİR SAYI TOPLAMDA 12 BASAMAK OLUŞTURACAK ŞEKİLDE ÜÇ KEZ YANYANA TEKRAR YAZILIRSA BU SAYI DA 7 YE KALANSIZ BÖLÜNÜR

 

Örnekler:

 

123412341234

100010001000

987698769876

395239523952

203920392039

845385438543

790579057905

500550055005

628762876287

 

Yukarıdaki dört basamaklı sayıların 3 kez tekrarından oluşan 12 basamaklı sayılar aynı sayı ya da karışık olarak sonsuz sayıda bir araya getirilmesiyle oluşan sayılar da 7 ye kalansız bölünebilir.

 

Örnekler:

 

395239523952395239523952…

845385438543100010001000500550055005…

 

Yukarıdaki özelliklere sahip sayılar 7’nin katı olduğu gibi 13 sayısının da tam katıdır.

Bu özelliğin sebebini şöyle açıklayabiliriz:

7 ile bölünebilirliği belirleme yöntemlerinden birisi şöyledir;

Sayının rakamlarının altına birler basamağından başlayarak sırasıyla; (+1), (+3), (+2), (-1), (-3), (-2), (+1) …sayılarıyla çarpılır. Elde edilen sayıların toplamı 7’nin tam katı ise bu sayı 7 ile tam bölünüyor demektir.

 

Yukarıda bahsedilen örneklerden;

845385438543 sayısını ele alırsak,

  8       5       4      3      8      5      4      3      8      5      4      3

(-2)  (-3)  (-1)  (+2) (+3)  (+1) (-2)  (-3) (-1)  (+2)  (+3)  (+1)

Tekrar eden her bir sayının altındaki çarpanları toplarsak,

8 x (-2+3-1) = 0

8 x       0

5 x (-3+1+2) = 0

5 x      0

4 x (-1-2+3) = 0

4 x      0

3 x (+2-3+1) = 0

3 x      0

 

Tüm katsayıların toplamının 0 olmasından dolayı sonuç da 0 çıkacaktır. Bu durumda sayının da 7 ye kalansız bölünebileceğini söyleye biliriz.

 

 

--5 BASAMAKLI SAYILARDA 7 NİN İLGİNÇ KATLARI

 

Herhangi iki basamaklı sayının ardından sıfır (0) veya 7 sayısı ve tekrar aynı iki basamaklı sayı yazılırsa bu sayılar da 7 ye kalansız bölünür.

 

Örnekler:

 

10010           23723

21021          45745

39039          52752        

44044          79779

56056          65765

68068          86786

75075          33733

83083          18718

92092          90790

 

Yukarıda verilen beş basamaklı sayılar birden çok kez sonsuza kadar yazılabilir ve bunlar karışık halde de yani farklı sayılar biraraya getirilerek de sonsuz sayıda yazılabilir ve bu sayılarda 7 ye kalansız bölünebilir.

 

Örnekler:

 

6806868068…

680688308386786…

Herhangi iki basamaklı sayının ardından sıfır (0) ve tekrar aynı iki basamaklı sayı yazıldığında (21021,39039 gibi) bu sayılar 7’nin katı olduğu gibi 11 ve 13 sayısının da katıdır.

Bu özelliğin sebebini şöyle açıklayabiliriz:

Yukarıda da bahsedildiği gibi, 7 ile bölünebilirliği belirleme yöntemlerinden birisi şöyledir;

 Sayının rakamlarının altına birler basamağından başlayarak sırasıyla;(+1), (+3), (+2), (-1), (-3), (-2), (+1) …sayılarıyla çarpılır. Elde edilen sayıların toplamı 7’nin tam katı ise bu sayı 7 ile tam bölünüyor demektir.

 

Yukarıda bahsedilen örneklerden;

75075 sayısını ele alalım,

   7      5     0      7      5

(-3)  (-1)  (+2)  (+3)  (+1)

Tekrar eden sayılardan 7 ve 5 sayısının katsayılarının,

7’nin katsayıları +3 ve -3 olduğu için sonuç 0 olur. 5 sayısının katsayıları ise +1 ve -1 olduğu için bunların sonucu da 0 olacaktır. Ortadaki sayı ise zaten 0 olduğu için 75075 sayısının 7’nin tam katı olduğu sonucuna varırız. Ortadaki sayı 7 olduğunda ise sonuç 7 olacaktır ve yine 75775 sayısının da 7’nin tam katı olacağını söyleye biliriz.

Bahsettiğimiz kanıt, yukarıda ‘’Dört Basamaklı Sayılarda 7’nin İlginç Katları’’ başlıklı konu için de geçerli olacaktır.

 

BEŞ BASAMAKLI BİR SAYI TOPLAMDA 30 BASAMAK OLUŞTURACAK ŞEKİLDE 6 KEZ YANYANA

TEKRAR YAZILIRSA BU SAYI DA 7 YE KALANSIZ BÖLÜNÜR

 

Örnekler:

 

123451234512345123451234512345

579045790457904579045790457904

900199001990019900199001990019

100011000110001100011000110001

386753867538675386753867538675

 

Yukarıdaki 5 basamaklı sayının 6 kez tekrarından oluşan 30 basamaklı sayıların da birden fazla aynı sayı ya da farklı sayının (60,90,120… vs. basamaklı) bir araya getirilmesiyle oluşan sayı da ,sonsuza kadar üretilse bile 7 ye kalansız bölünebilir olmalıdır.

 

Örnekler:

 

123451234512345123451234512345123451234512345123451234512345…

579045790457904579045790457904900199001990019900199001990019…

Yukarıdaki konu başlıklarında açıklanan, 7 ye kalansız bölünebilen 4,5,6,12,30… basamaklı sayıları farklı kategorilerden olsa bile bir araya getirdiğimizde yine elde edilen sayılar 7’ ye kalansız bölünebilir.

 

Örnekler:

 

6006,21021,805805,787878,395239523952, 123451234512345123451234512345

7 ye kalansız bölünebilen bu farklı basamak ve kategorideki sayılar bir araya getirildiğinde de ortaya çıkan sayılar 7 ye kalansız bölünür.

600621021805805…

395239523952787878600621021…

 

Yukarıda bahsedilen özelliklere sahip sayılar 7’nin katı olduğu gibi 11 ve 13 sayısının da katıdır.

Bu özelliğe şöyle bir kanıt getirilebilir:

7’ye bölünebilme ile ilgili literatürde bilinen bir yöntem vardır. Sayının rakamları sağdan başlayarak üçer üçer gruplara ayrılır ve her üçlü grubun önüne artıdan (+) başlayarak sırasıyla +, -, +, -… şeklinde işlem yaparak sonucun 7’nin katı olup olmadığına bakılır.

 

Örneğin yukarıdaki şu örneği ele alırsak;

579045790457904579045790457904

-579 + 045- 790 + 457 – 904 + 579 – 045 + 790 – 457 + 904=0

Sonuç 0 olur ve bu da 7’nin katı olduğunu gösterir. Bu örnekte açıkça görüldüğü üzere, aynı üçlü grup sayının bir (+) işaretlisi; bir de (-) işaretlisi bulunmaktadır. Mesela 904’ün hem artılısı hem de önünde eksi işareti olanı vardır ve bunlar birbirini götürür ve toplamda sonuç 0 çıkar.

Yukarıda 7 ile bölünebilme konusunun başında bahsettiğimiz sorunun cevabı şöyle açıklanabilir:

Öğrencimiz, sizin belirlediğiniz iki basamaklı sayı ile başlayıp yine sizin belirlediğiniz iki basamaklı sayı ile biten beş basamaklı bir sayı belirleyip – ki bu iki basamaklı sayıların arasına herhangi bir rakam ekleyerek bu sayı belirlenir – bu sayıyı toplam 30 basamaklı olacak şekilde altı kez arka arkaya yazar.

 

 

--6 BASAMAKLI SAYILARDA 7 NİN İLGİNÇ KATLARI

 

İKİ BASAMAKLI BİR SAYI TOPLAM 6 BASAMAK OLUŞTURMAK ÜZERE 3 KEZ YANYANA TEKRAR YAZILDIĞINDA, BU SAYI 7 YE KALANSIZ BÖLÜNÜR

 

Örnekler:

 

121212

787878

343434

515151

909090

666666

878787

101010

 

Yukarıda verilen, iki basamaklı aynı sayının 3 kez tekrarından oluşan 6 basamaklı sayıların tekrar tekrar yazılması halinde ve bu şekildeki farklı 6 basamaklı sayılar sonsuz sayıda bir araya getirilip oluşturulan sayılar da 7 ye kalansız bölünür.

121212121212…

121212343434…

878787515151101010…

 

Yukarıda verilen özellikteki sayılar 7’nin katı olduğu gibi aynı zamanda 13 sayısının da katıdır.

 

Bu özelliğin sebebini şöyle açıklayabiliriz:

 

Yukarıda da bahsedildiği gibi, 7 ile bölünebilirliği belirleme yöntemlerinden birisi şöyledir;

 Sayının rakamlarının altına birler basamağından başlayarak sırasıyla;(+1), (+3), (+2), (-1), (-3), (-2), (+1) …sayılarıyla çarpılır. Elde edilen sayıların toplamı 7’nin tam katı ise bu sayı 7 ile tam bölünüyor demektir.

 

Yukarıda bahsedilen örneklerden;

878787 sayısını ele alalım:

  7      8     7      8       7       8

(-2)  (-3)  (-1)  (+2) (+3)  (+1)

7 x ( -2-1+3) = 0

 7 x        0

8 x ( -3+2+1) =0

 8 x        0

Görüldüğü gibi tekrar eden sayıların katsayıları toplamı hep 0 olduğu için sonuçta toplam da 0 olur ve bu da sonucun 7’ye tam bölünebildiğini gösterir.

 

 

ÜÇ BASAMAKLI BİR SAYI YİNE TOPLAM 6 BASAMAK OLUŞTURMAK ÜZERE YANYANA İKİ KEZ YAZILIRSA 7 YE KALANSIZ BÖLÜNÜR

 

Örnekler:

 

100100

456456

973973

323323

805805

797797

691691

535535

Bu sayılar 6 basamağın katı olacak şekilde 12,18 ve 24… vs. basamaklı gibi devam ettirilirse elde edilen bu sayılar da 7’ ye kalansız bölünür.

 

Örnekler:

 

100100100100

323323323323

691691691691691691

797797797797797797797797

Bunun yanında, tamamen aynı sayılarla devam etmesi şartı yoktur. Yukarıdaki 6 basamaklı sayılardan karışık olarak da yan yana yazılabilir.

 

Örnekler:

 

691691797797805805

323323100100535535

456456973973797797691691…

323323100100535535100100797797…

Bu şekilde 3 basamaklı sayının iki kez tekrarından oluşan 6 basamaklı sayıların birleşiminden sonsuza kadar 7’nin tam katı ve kalansız bölünebilen sayılar üretilebilir.

 

Yukarıdaki özelliklere sahip sayılar 7’nin katı olduğu gibi 11 ve 13 sayısının da katıdır.

Bu özelliğe şöyle bir kanıt getirilebilir:

7’ye bölünebilme ile ilgili literatürde bilinen bir yöntem vardır. Sayının rakamları sağdan başlayarak üçer üçer gruplara ayrılır ve her üçlü grubun önüne artıdan (+) başlayarak sırasıyla +,-,+,-…şeklinde işlem yaparak sonucun 7’nin katı olup olmadığına bakılır.

 

Örneğin yukarıdaki şu örneği ele alırsak;

691691691691691691

  -691 + 691 – 691 + 691 – 691 + 691=0

Her bir üçlü grubun hem artılısı hem de eksi işaretlisi olduğu için bunlar birbirini götürür ve sonuç 0 çıkar.

 

 

YUKARIDA AÇIKLANAN FARKLI KATEGORİ VE BASAMAK SAYILARINDAKİ 7 NİN KATI OLAN SAYILARLA BAZI İŞLEMLER

 

Yukarıdaki konu başlıklarında açıklanan 7’ ye kalansız bölünebilen 4,5,6,12,30… basamaklı sayılar, farklı basamak sayısı ve farklı kategorilerden olsa bile bu sayılar arasında toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri yapıldığında da sonuç 7’nin katları çıkacaktır.

 

Örnekler:

 

6006 + 805805 = 811811

787878 + 395239523952 = 395240311830 (7 x 56462901690)

787878 – 6006 = 781872 (7 x 111696)

6006 x 805805 = 4839664830 (7 x 691380690)

 

Ayrıca, yukarıda bahsettiğimiz herhangi basamak sayılı veya kategoriden birden fazla sayı yan yana yazılarak birleştirilip yine aynı şekilde toplama, çıkarma ve çarpma işlemi yapılabilir ve sonuç yine 7 ye kalansız bölünür.

 

Örnekler:

 

6006 + 805805787878 = 805805793884 (7 x 115115113412)

395239523952412412 – 5005 = 395239523952407407 (7 x 56462789136058201)

2002 x 511511 = 1024045022

 

EKLENMESİ GEREKEN BAZI ÖNEMLİ ÖZELLİKLER

 

Yukarıda bahsedilen kategorilerde ve basamak sayılarında, aynı veya farklı basamak sayısı ve kategoriden yan yana getirildiklerinde bu sayının önüne veya arkasına 7’nin katı olan bir sayı eklenirse bu yeni sayı da 7 ye kalansız bölünebilir.

 

Örnekler:

 

590590 sayısının önüne 7’nin katı olduğunu bildiğimiz 21 gibi bir sayı gelirse

21590590 olur ya da hem önüne hem arkasına gelirse 2159059021 olur ve her iki sayı da 7 ye kalansız bölünür.

 7’nin katı olan farklı sayılar farklı şekillerde bir araya gelirse de ortaya çıkan sayı yine 7’ ye kalansız bölünür.

 

Örnekler:

 

2878787835

1442145145

40047006986981428…

 

Sonuçta, 7’nin katı olan bir sayının önüne ya da arkasına basamak sayısı sınırsız bir şekilde, yine 7’nin katı olan bir sayıyı ekleyerek oluşturduğumuz yeni sayılar da 7 ye kalansız bölünür.

7’nin dışındaki diğer sayılarda da herhangi bir sayının katları yan yana getirildiğinde yine o sayının katları çıkar. Fakat, 7 sayısına özgü olan bahsettiğimiz yöntemlerle bir sayının ya da birçok sayının 7 ye kalansız bölünebilirliği ile ilgili hesaplar yapmamız gerekmez. Örneğin,3 basamaklı herhangi bir sayı iki kez yan yana yazıldığında oluşan 6 basamaklı sayının (498498 gibi) 7’nin tam katı olduğunu bilebiliriz.

 

ÜÇ BASAMAKLI SAYILARDA 7 YE BÖLÜNEBİLME İLE İLGİLİ BAZI ÖZELLİKLER

 

ÜÇ BASAMAKLI SAYILARDA, 7 YE KALANSIZ BÖLÜNEN BİR SAYININ ÜSTÜNE, TOPLAMDA İLK ÜÇ BASAMAKLI SAYI İLE BİRLİKTE 6 BASAMAĞI GEÇMEMEK ÜZERE BİR SAYI EKLENİP, EKLENEN SAYI EKLENMİŞ YENİ SAYININ ÖNÜNE YANİ SOLUNA YAZILIRSA BU YENİ SAYI DA 7 YE KALANSIZ BÖLÜNÜR. 7 YE KALANSIZ BÖLÜNMEYEN SAYILARDA AYNI İŞLEMLERİ YAPTIĞIMIZDA İSE AYNI KALANI VERİR.

 

ÖRNEKLER:

 

7 NİN KATI OLAN 497 SAYISINI DÜŞÜNELİM:

BU SAYIYA 58 SAYISINI EKLEYİP, BU EKLENMİŞ SAYININ (497 + 58 = 555) ÖNÜNE YANİ SOLUNA BU EKLENEN SAYI YANİ 58 YAZILIRSA ORTAYA ÇIKAN 58555 SAYISI DA 7 YE KALANSIZ BÖLÜNÜR.

(58555 = 7 X 8365)

7 NİN KATI OLAN 546 SAYISINI ELE ALALIM:

BU SAYININ ÜSTÜNE 3 EKLEYELİM. 546 + 3 = 549

549 SAYISININ ÖNÜNE 3 SAYISINI YAZIP 3549 SAYISINI ELDE ETTİĞİMİZDE DE BU SAYI DA 7 YE KALANSIZ BÖLÜNÜR.

(3549 = 7 x 507)

7 YE KALANSIZ BÖLÜNMEYEN BİR SAYIYA ÖRNEK VERELİM:

768 SAYISINA 1 EKLEYELİM VE ÇIKAN SAYININ SOLUNA 1 EKLEYELİM.

1769 SAYISINA ULAŞIRIZ. 1769 SAYISI İLE 768 SAYISI AYNI KALANI, YANİ 5 KALANINI VERİR.

YUKARIDAKİ 768 SAYISININ 7 YE BÖLÜNEBİLİRLİĞİNİ ARAŞTIRIRKEN, YUKARIDAKİ ŞEKİLDE ELDE ETTİĞİMİZ 1769 SAYISINDAN DA YARARLANABİLİRİZ.DAHA ÖNCE 4 BASAMAKLI SAYILARDAKİ 7 NİN TAM KATI OLAN BAZI ÖZELLİKLİ SAYILARDAN BAHSETMİŞTİK.

1001, 2002,3003 …. GİBİ İKİ AYNI RAKAMIN ARASINA (-00-) SIFIR-SIFIR VE 1071 ,2282 ,3563… GİBİ İKİ AYNI RAKAMIN ARASINA 07 VE 7 NİN KATI OLAN İKİ BASAMAKLI SAYILAR GELİRSE BU SAYILAR DA 7 YE KALANSIZ BÖLÜNÜR.

YUKARIDA 768 SAYISINA 1 EKLEYİP BU SAYININ ÖNÜNE 1 SAYISINI KOYARAK ELDE ETTİĞİMİZ 1769 SAYISININ EN YAKININDAKİ AMA BU SAYIYI GEÇMEYEN 7 NİN KATI BİR SAYI TESPİT ETMEK ZOR OLMAYACAKTIR. 1769 SAYISI İÇİN 70 SAYISI 76 YA EN YAKIN AMA GEÇMEYEN 1701 SAYISINI TESPİT EDEBİLİRİZ.

1769 – 1701 = 68 DEN,

68 – 63 = 5

 

ÖRNEK:

 

532 SAYISINI ELE ALDIĞIMIZDA 532 YE 1 EKLEYİP BU EKLENMİŞ SAYININ ÖNÜNE YANİ SOLUNA 1 SAYISINI EKLERSEK 1533 SAYISINA ULAŞIRIZ.BU SAYIYA EN YAKIN 4 BASAMAKLI 7 NİN KATI OLARAK 1491 SAYISINI TESPİT EDERİZ. (BU SAYILARIN NASIL BELİRLENDİĞİ UNUTULMAMALIDIR.)

1533 – 1491 = 42 YE ULAŞIRIZ VE 42 SAYISI 7 NİN KATIDIR.

 

ÜÇ BASAMAKLI SAYILARDA 7 YE BÖLÜNEBİLMEDE YENİ BİR YÖNTEM

 

ÜÇ BASAMAKLI BİR SAYIDA EN SOLDA BULUNAN YÜZLER BASAMAĞINDAKİ SAYI 5 İLE ÇARPILIR VE ÇIKAN SONUÇ ONLAR VE BİRLER BASAMAĞINDAKİ İKİ BASAMAKLI SAYIDAN ÇIKARILIR. BU İŞLEMİN ARDINDAN İSE 7 NİN KATLARI AÇISINDAN DAHA DA SADELEŞTİREBİLMEK İÇİN, ÇIKAN İKİ BASAMAKLI SAYI POZİTİF TAM SAYI İSE SOLDAKİ ONLAR BASAMAĞINDAKİ SAYI 3 İLE ÇARPILIR VE SONUÇ, SAĞDAKİ BİRLER BASAMAĞINDAKİ SAYI İLE TOPLANIR.ORTAYA ÇIKAN SAYI 7 NİN KATI İSE ÜÇ BASAMAKLI SAYIMIZ DA 7 NİN KATIDIR.AYRICA BU YÖNTEM SAYININ 7 YE BÖLÜMÜNDEN KALANI DA VERİR. BAZI YENİ KEŞFEDİLEN YÖNTEMLERDE KALAN İLE İLGİLİ BİLGİ ÇIKMAMAKTADIR.

 

YÜZLER BASAMAĞINDAKİ SAYININ 5 İLE ÇARPIMINDAN ÇIKAN SONUÇ ONLAR VE BİRLER BASAMAĞINDAKİ SAYIDAN ÇIKARILINCA SONUÇ NEGATİF SAYI ÇIKARSA, BU İKİ BASAMAKLI SAYININ ONLAR BASAMAĞINDAKİ NEGATİF SAYI 3 İLE ÇARPILIP BİRLER BASAMAĞINDAKİ NEGATİF SAYIYLA TOPLANINCA SONUÇTA ÇIKAN NEGATİF SAYI 7 İLE TOPLANARAK BULUNAN SAYI KALAN OLUR. SONUÇ 0 YA DA 7 NİN KATIYSA ZATEN ÜÇ BASAMAKLI SAYI DA 7 NİN KATIDIR.

 

PEKİ NEDEN YÜZLER BASAMAĞINDAKİ SAYI 5 İLE ÇARPILIYOR?

 

7 SAYISININ 100 DEN BİR ÖNCEKİ KATI 98 DİR. 98 DEN BİR SONRAKİ KATI ARTIK ÜÇ BASAMAKLI YANİ YÜZLER BASAMAĞI OLAN BİR SAYI OLACAKTIR VE 7 NİN ÜÇ BASAMAKLI İLK KATI 105 SAYISIDIR.98 DEN 105 E ARTTIRIRKEN 7 SAYI EKLENİR VE BU 7 NİN 2 SAYISI 98’E EKLENİP 100 ELDE EDİLİR.GERİ KALAN 5 İSE BİRLER BASAMAĞINA YAZILIR.

BU 105 SAYISININ KATI OLAN VE BU YÜZDEN ZATEN 7 NİN DE KATI OLAN ÜÇ BASAMAKLI SAYILARI İNCELEDİĞİMİZDE;

105

210

315

420

525

630

735

840

945

SAYILARININ ONLAR VE BİRLER BASAMAĞINDAKİ İKİ BASAMAKLI SAYININ, YÜZLER BASAMAĞINDAKİ SAYININ 5 KATI OLDUĞUNU GÖRÜRÜZ.(TIPKI 105 SAYISINDAKİ 1İLE 5 GİBİ)

105 SAYISINDAN BUNUN İKİ KATI OLAN 210 A GEÇERKEN DE 98’DEN 105 E GEÇERKEN  7 NİN 2’Sİ EKLENİP YÜZLER BASAMAĞINDAKİ 1 ELDE EDİLMESİNDE OLDUĞU GİBİ 196 DAN 210 GEÇERKEN 2 TANE 2 YANİ 4 EKLENİP YÜZLER BASAMAĞINDAKİ 2 ELDE EDİLİR.BUNUNLA BİRLİKTE 105 ELDE EDİLİRKEN EKLENEN 5 SAYISI DA İKİYE KATLANIP 10 SAYISI ELDE EDİLİR.SONUÇTA, 105 E GEÇERKEN Kİ DEĞERLER YANİ 7 DE İKİ YE KATLANIP 196 YA  14 SAYI EKLENMİŞ OLUR.BU 14 ÜN 4 Ü, 210 UN YÜZLER BASAMAĞINDAKİ 2 SAYISINI ELDE ETMEMİZİ SAĞLAR. ÇÜNKÜ 98 DEN 105’E GEÇERKEN 2 SAYISI YÜZLER BASAMAĞINDAKİ 1 SAYISINI SAĞLAMIŞTI.YİNE 105 İN BİR LER BASAMAĞINDAKİ 5 İN DE İKİ KATINI ALIP 210 DAKİ 10 ELDE EDİLİR. 315 SAYISINDA DA 105 DEKİ 2 VE 5 İN 3 KATLARI ALINIR VE BÖYLE 420 DE 4 KATI,525 DE 5 KATLARI… OLARAK DEVAM EDER.

 

SONUÇ OLARAK,0 DAN FARKLI TEK BASAMAKLI BİR SAYININ 5 KATINI İKİ BASAMAKLI OLARAK SAĞINA YANİ BİRLER VE ONLAR BASAMAĞINA YAZARAK ELDE ETTİĞİMİZ ÜÇ BASAMAKLI SAYILAR 7 NİN TAM KATIDIR VE 7 YE KALANSIZ BÖLÜNÜR.BİZİM BURADA YAPTIĞIMIZ İŞLEM, HERHANGİ BİR ÜÇ BASAMAKLI SAYININ YUKARIDA BAHSETTİĞİMİZ ÖZELLİĞE SAHİP EN YAKIN SAYI İLE OLAN FARKINDAN YARARLANARAK, 7 YE KALANSIZ BÖLÜMÜN MÜMKÜN OLUP OLMADIĞINI VE KALAN VAR İSE BUNUN DEĞERİNİ BELİRLEMEKTİR.

 

ÖRNEĞİN, 487 SAYISINI ELE ALALIM:

 

4 X 5 =20 Yİ 4 ÜN SAĞINA YAZARSAK 420 OLUR.420 SAYISI DA YUKARIDA VERDİĞİMİZ 3 BASAMAKLI 7 NİN KATI OLAN SAYILARDANDIR.ŞİMDİ 487 DEN 420 Yİ ÇIKARDIĞIMIZDA 487- 420 =67 NİN 7 YE BÖLÜMÜNÜ ARAŞTIRIRIZ. YÖNTEMİ AÇIKLARKEN BELİRTTİĞİM GİBİ DOĞRUDAN 87 DEN 20 Yİ ÇIKARDIĞIMIZDA ZATEN BU İŞLEMİ YAPMIŞ OLUYORUZ.SONRA 6X3= 18 VE 18 + 7= 25 DEN KALAN 4 BULUNUR.

PEKİ NEDEN İKİNCİ AŞAMADA BULUNAN İKİ BASAMAKLI SAYININ ONLAR BASAMAĞI 3 İLE ÇARPILIP ÇIKAN SONUÇ BİRLER BASAMAĞINA EKLENİYOR?

 

AB SAYISINI ELE ALALIM.

 

AB = 10A + B ŞEKLİNDE ÇÖZÜMLEYEBİLİRİZ. BUNU DA

AB = 7A + 3A + B ŞEKLİNDE YAZABİLİRİZ.

7A ZATEN 7 NİN KATI OLACAĞI İÇİN SADECE 3 A + B NİN DEĞERİNİ BULUP AB SAYISININ 7 NİN KATI OLUP OLMADIĞINI BELİRLEMEK MÜMKÜN OLACAKTIR.

 

ÖRNEK:

 

758 SAYISINI İNCELEYELİM.

YÜZLER BASAMAĞINDAKİ 7 İLE 5 ÇARPILIR. 7 X 5 =35 BU SONUÇ, ONLAR VE BİRLER BASAMAĞINDAKİ 58 DEN ÇIKARILIR. 58 – 35 = 23

23 SAYISINDAN BU SAYIYA EN YAKIN  7 NİN KATI OLDUĞUNU BİLDİĞİMİZ VE BASİT ÇARPIM TABLOSU BİLGİSİ İÇİNDE OLAN  3 X 7 = 21 SAYISINI ÇIKARINCA 23 – 21 = 2 SONUCU ÇIKAR.758 SAYISI 7 YE BÖLÜMÜNDE 2 KALANINI VERİR.

YUKARIDAKİ 23 SAYISINI DAHA DA 7 SAYISINA YAKINLAŞTIRARAK SADELEŞTİRMEK İSTERSEK 23 ÜN ONLAR BASAMAĞINDAKİ 2 SAYISINI 3 İLE ÇARPARIZ VE SONUCU VE BİRLER BASAMAĞINDAKİ 3 İLE TOPLARIZ. 2 X 3 = 6  ,  6 + 3 = 9’ DAN  9 – 7 = 2 KALANI BULUNUR.

 

832 SAYISINI İNCELEDİĞİMİZDE:

 

8 X 5 = 40 ,   32-40= -8   -8 + 7=-1 YİNE NEGATİF ÇIKTIĞINDAN YİNE 7 İLE TOPLARIZ VE -1 +7 =6. KALAN 6   BULUNUR.

 

 

 

ÜÇ BASAMAKLI SAYILARIN 7 NİN KATLARI YÖNÜNDEN İLGİNÇ ÖZELLİKLERİ

 

ÜÇ BASAMAKLI SAYILARDA BİRLER VE ONLAR BASAMAĞININ VE YÜZLER VE ONLAR BASAMAĞININ HER İKİSİNİN DE TOPLAMI 7 VE 14 OLAN SAYILAR 7 NİN KATIDIR.

 

ÖRNEKLER:

 

BİRLER-ONLAR BASAMAĞI TOPLAMI VE YÜZLER-ONLAR BASAMAĞI TOPLAMI 7 OLAN ÜÇ BASAMAKLI SAYILAR

161                525

252                616

343                707              

434               

BİRLER-ONLAR BASAMAĞI TOPLAMI VE YÜZLER-ONLAR BASAMAĞI TOPLAMI 14 OLAN SAYILAR.

595            777

959

686

868

YUKARIDA VERİLEN SAYILARIN HEPSİNDE DİĞER BİR ORTAK ÖZELLİK, AYNI RAKAMLA BAŞLAYIP AYNI RAKAMLA BİTMELERİDİR.

 

 Tarık Taşpınar

---

Yorumlar - Yorum Yaz

---